Για το μπριάμ με κοτόπουλο, πλένουμε πρώτα όλα τα λαχανικά. Κόβουμε τις μελιτζάνες σε μέγεθος μπουκιάς. Τις βάζουμε σε μεγάλο μπολ. Κόβουμε τα κρεμμύδια σε καρέ και τα προσθέτουμε. Καθαρίζουμε τις πιπεριές, αφαιρούμε τους σπόρους και τις κόβουμε σε μεγάλα καρέ. Κόβουμε τα κολοκύθια σε φέτες, αν είναι μικρά, ή σε καρέ, αν είναι μεγάλα και τα προσθέτουμε. Ρίχνουμε τη ντομάτα κομμένη σε καρέ, το σκόρδο, το δυόσμο, το θυμάρι, τη ρίγανη, τη μουστάρδα πικάντικη, το βαλσαμικό ξίδι, το αλάτι, το πιπέρι και το ημίσκληρο τυρί.

Κόβουμε τα μπούτια ολόκληρα σε μπουκιές και το προσθέτουμε στα λαχανικά. Αλατοπιπερώνουμε και ραντίζουμε με το ελαιόλαδο. Τα ανακατεύουμε πολύ καλά όλα μαζί.

Μοιράζουμε ίσα το μείγμα σε 4 λαδόκολλες. Τις κλείνουμε σε πουγκί. Δένουμε σφιχτά με σπάγκο, ψήνουμε για 1 ώρα στους 180°C στις αντιστάσεις σε καλά προθερμασμένο φούρνο.

Αν θέλουμε ανοίγουμε τις λαδόκολλες και ρίχνουμε προσεκτικά το μπριάμ στο ταψί. Βάζουμε στο φούρνο για ακόμα 10′ και αφήνουμε να πάρει χρώμα το κοτόπουλο.